গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of multiplier angles
Posted on August 22, 2023, 5:24 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of multiple angles
একটি কোণকে কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে উক্ত কোণের গুণিতক কোণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ \(A\) কোণের গুণিতক কোণগুলি \(2A, \ 3A, \ 4A .........nA\) ইত্যাদি।
\(\sin{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\sin{2A}\) in terms of \(\sin{A}\) and \(\cos{A}\)
\(\sin{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\) \(1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\) \(1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} ........(1)\)
ধরি, \(B=A\)
\((1)\) হতে,
\(\sin{(A+A)}=\sin{A}\cos{A}+\cos{A}\sin{A}\)
\(\therefore \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
আবার,
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 1+\sin{2A}=1+2\sin{A}\cos{A}\) ➜ উভয় পার্শে \(1\) যোগ করে।

\(\Rightarrow 1+\sin{2A}=\sin^2{A}+\cos^2{A}+2\sin{A}\cos{A}\) ➜ \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(\therefore 1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\) ➜ \(\because a^2+b^2+2ab=(a+b)^2\)

\(1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\)
আবার,
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow -1+\sin{2A}=-1+2\sin{A}\cos{A}\) ➜ উভয় পার্শে \((-1)\) যোগ করে।

\(\Rightarrow -(1-\sin{2A})=-(1-2\sin{A}\cos{A})\)
\(\Rightarrow 1-\sin{2A})=1-2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 1-\sin{2A}=\sin^2{A}+\cos^2{A}-2\sin{A}\cos{A}\) ➜ \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(\therefore 1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\) ➜ \(\because a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\)

\(1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\)
\(\sin{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\sin{2A}\) in terms of \(\tan{A}\)
\(\sin{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow \sin{2A}=\cos^2{A}\times2\frac{\sin{A}}{\cos{A}}\)
\(=\frac{1}{\sec^2{A}}\times2\tan{A}\) ➜ \(\because \cos{A}=\frac{1}{\sec{A}}\)
এবং \(\frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\tan{A}\)

\(=\frac{2\tan{A}}{\sec^2{A}}\)
\(=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\) ➜ \(\because \sec^2{A}=1+\tan^2{A}\)

\(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(\cos{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cos{2A}\) in terms of \(\sin{A}\) and \(\cos{A}\)
\(\cos{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\) \(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\) \(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\) \(1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\) \(1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} ........(1)\)
ধরি, \(B=A\)
\((1)\) হতে,
\(\cos{(A+A)}=\cos{A}\cos{A}-\sin{A}\sin{A}\)
\(\therefore \cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)
আবার,
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)
\(=\cos^2{A}-(1-\cos^2{A})\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(=\cos^2{A}-1+\cos^2{A}\)
\(=2\cos^2{A}-1\)
\(\therefore \cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
\(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
আবার,
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)
\(=1-\sin^2{A}-\sin^2{A}\) ➜ \(\because \cos^2{A}=1-\sin^2{A}\)

\(=1-2\sin^2{A}\)
\(\therefore \cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
\(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
আবার,
\(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
\(\therefore 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\) ➜ পক্ষান্তর করে।

\(1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
আবার,
\(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
\(\Rightarrow -1+\cos{2A}=-2\sin^2{A}\) ➜ পক্ষান্তর করে।

\(\Rightarrow -(1-\cos{2A})=-2\sin^2{A}\)
\(\therefore 1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)
\(1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)
\(\cos{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cos{2A}\) in terms of \(\tan{A}\)
\(\cos{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\) \(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)
\(=\cos^2{A}\left(1-\frac{\sin^2{A}}{\cos^2{A}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{A}}\left(1-\tan^2{A}\right)\) ➜ \(\because \cos{A}=\frac{1}{\sec{A}}\)
এবং \(\frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\tan{A}\)

\(=\frac{1-\tan^2{A}}{\sec^2{A}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\) ➜ \(\because \sec^2{A}=1+\tan^2{A}\)

\(\therefore \cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\)
আবার,
\(1-\cos{2A}=2\sin^2{A} .......(1)\)
\(1+\cos{2A}=2\cos^2{A} .......(2)\)
\((1)\) কে \((2)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\frac{2\sin^2{A}}{2\cos^2{A}}\)
\(=\frac{\sin^2{A}}{\cos^2{A}}\)
\(=\tan^2{A}\)
\(\therefore \frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\)
\(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\)
\(\tan{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\tan{2A}\) in terms of \(\tan{A}\)
\(\tan{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}} ........(1)\)
ধরি, \(B=A\)
\((1)\) হতে,
\(\tan{(A+A)}=\frac{\tan{A}+\tan{A}}{1-\tan{A}\tan{A}}\)
\(\therefore \tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)
\(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)
\(\cot{2A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cot{2A}\) in terms of \(\cot{A}\)
\(\cot{2A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}} ........(1)\)
ধরি, \(B=A\)
\((1)\) হতে,
\(\cot{(A+A)}=\frac{\cot{A}\cot{A}-1}{\cot{A}+\cot{A}}\)
\(\therefore \cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\)
\(\cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\)
\(\sin{3A}\) কে \(\sin{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\sin{3A}\) in terms of \(\sin{A}\)
\(\sin{3A}\) কে \(\sin{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} ........(1)\)
ধরি, \(B=2A\)
\((1)\) হতে,
\(\sin{(A+2A)}=\sin{A}\cos{2A}+\cos{A}\sin{2A}\)
\(\Rightarrow \sin{3A}=\sin{A}(1-2\sin^2{A})+\cos{A}(2\sin{A}\cos{A})\) ➜ \(\because \cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=\sin{A}-2\sin^3{A}+2\sin{A}\cos^2{A}\)
\(=\sin{A}-2\sin^3{A}+2\sin{A}(1-\sin^2{A})\) ➜ \(\because \cos^2{A}=1-\sin^2{A}\)

\(=\sin{A}-2\sin^3{A}+2\sin{A}-2\sin^3{A}\)
\(=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)
\(\therefore \sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)
\(\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)
\(\cos{3A}\) কে \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cos{3A}\) in terms of \(\cos{A}\)
\(\cos{3A}\) কে \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} ........(1)\)
ধরি, \(B=2A\)
\((1)\) হতে,
\(\cos{(A+2A)}=\cos{A}\cos{2A}-\sin{A}\sin{2A}\)
\(\Rightarrow \cos{3A}=\cos{A}(2\cos^2{A}-1)-\sin{A}(2\sin{A}\cos{A})\) ➜ \(\because \cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=2\cos^3{A}-\cos{A}-2\cos{A}\sin^2{A}\)
\(=2\cos^3{A}-\cos{A}-2\cos{A}(1-\cos^2{A})\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(=2\cos^3{A}-\cos{A}-2\cos{A}+2\cos^3{A}\)
\(=4\cos^3{A}-3\cos{A}\)
\(\therefore \cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\)
\(\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\)
\(\tan{3A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\tan{3A}\) in terms of \(\tan{A}\)
\(\tan{3A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\tan{(A+B+C)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A}} ......(1)\)
ধরি,
\(B=C=A \)
\((1)\) হতে,
\(\tan{(A+A+A)}=\frac{\tan{A}+\tan{A}+\tan{A}-\tan{A}\tan{A}\tan{A}}{1-\tan{A}\tan{A}-\tan{A}\tan{A}-\tan{A}\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-\tan^2{A}-\tan^2{A}-\tan^2{A}}\)
\(\therefore \tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)
\(\tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)
\(\cot{3A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cot{3A}\) in terms of \(\cot{A}\)
\(\cot{3A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cot{(A+B+C)}=\frac{\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{A}-\cot{B}-\cot{C}}{\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}-1} ......(1)\)
ধরি,
\(B=C=A \)
\((1)\) হতে,
\(\cot{(A+A+A)}=\frac{\cot{A}\cot{A}\cot{A}-\cot{A}-\cot{A}-\cot{A}}{\cot{A}\cot{A}+\cot{A}\cot{A}+\cot{A}\cot{A}-1}\)
\(\Rightarrow \cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{\cot^2{A}+\cot^2{A}+\cot^2{A}-1}\)
\(\therefore \cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)
\(\cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)
\(\cot{A}-\tan{A}\) কে \(\cot{2A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing \(\cot{A}-\tan{A}\) in terms of \(\cot{2A}\)
\(\cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\)

প্রমাণঃ
লেখা যায়,
\(\cot{A}-\tan{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}-\frac{\sin{A}}{\cos{A}}\)
\(=\frac{\cos^2{A}-\sin^2{A}}{\sin{A}\cos{A}}\)
\(=\frac{\cos{2A}}{\sin{A}\cos{A}}\) ➜ \(\because \cos^2{A}-\sin^2{A}=\cos{2A}\)

\(=\frac{2\cos{2A}}{2\sin{A}\cos{A}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{2\cos{2A}}{\sin{2A}}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)

\(=2\frac{\cos{2A}}{\sin{2A}}\)
\(=2\cot{2A}\) ➜ \(\because \frac{\cos{A}}{\sin{A}}=\cot{A}\)

\(\therefore \cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\)
\(\cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) দেখাও যে, \(4\cos^3{x}\sin{3x}+4\sin^3{x}\cos{3x}=3\sin{4x}\)

\(Ex.2.\) \(\tan{\theta}=\sec{2\alpha}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2\theta}=\frac{1-\tan^4{\alpha}}{1+\tan^4{\alpha}}\)

\(Ex.3.\) \(\tan{x}=\frac{b}{a}\) হলে দেখাও যে, \(a\cos{2x}+b\sin{2x}=a\)

\(Ex.4.\) \(\tan{\theta}=\frac{1}{2}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(10\sin{2\theta}-6\tan{2\theta}+5\cos{2\theta}=3\)

\(Ex.5.\) \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}-\frac{1}{\cos{20^{o}}}=4\)

\(Ex.6.\) \(\cos{4\theta}=8\cos^4{\theta}-8\cos^2{\theta}+1\)

\(Ex.7.\) \(\sin{8\theta}=8\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{4\theta}\)

\(Ex.8.\) \(\frac{1}{\sin{10^{o}}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos{10^{o}}}=4\)
ঢাঃ ২০১০,২০০৭; কুঃ ২০০৬; চঃ ২০১৪,২০১২,২০০৮,২০০৪; রাঃ ২০১৫,২০০৭; দিঃ ২০১৫,২০১১; সিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১৩,২০০৯।

\(Ex.9.\) \(\sin^2{(60^{o}+A)}+\sin^2{A}+\sin^2{(60^{o}-A)}=\frac{3}{2}\)
কুঃ ২০০৫; চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২।

\(Ex.10.\) \(\cos^3{A}\cos{3A}+\sin^3{A}\sin{3A}=\cos^3{2A}\)
যঃ ২০০৩।

\(Ex.11.\) \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৪; যঃ ২০১৪; বঃ ২০১৫,২০১৩; দিঃ, সিঃ ২০১৬,২০১৪; মাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৭; বুয়েটঃ ২০০০-২০০১; কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০।

\(Ex.12.\) \(\sin{20^{o}}\sin{40^{o}}\sin{60^{o}}\sin{80^{o}}=\frac{3}{16}\)
মাঃ ২০০৪।

\(Ex.13.\) \(\theta=20^{o}\) এবং \(\theta+\alpha+80^{o}=180^{o}\) হলে, দেখাও যে, \(\tan{\theta}\tan{2\theta}\tan{\alpha}=\sqrt{3}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; বঃ ২০০৭,২০০৩; চঃ ২০১৯,২০০৬; ঢাঃ ২০১৭; বুটেক্সঃ ২০১১-১২।

\(Ex.14.\) প্রমাণ কর যে, \((\cos{A}+i\sin{A})^2=\cos{2A}+i\sin{2A},\) যখন \(i=\sqrt{-1}\)

\(Ex.15.\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{1-\tan^2{(45^{o}-A)}}{1+\tan^2{(45^{o}-A)}}=\sin{2A}\)

\(Ex.16.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {\frac{(x-y)}{2}}=\pm\frac{2}{\sqrt{4-a^2-b^2}}\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ কর
\(Q.1.(i)\) \(\sqrt{\frac{1-\cos{2\theta}}{1+\cos{2\theta}}}=\tan{\theta}\)

প্রমাণ কর
\(Q.1.(ii)\) \(\frac{\sin{\theta}+\cos{\theta}}{\sqrt{1+\sin{2\theta}}}=1\)

\(Q.1.(iii)\) \(\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}=2\cos{x}+1\)

\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1+\cos{2A}+\sin{2A}}{1-\cos{2A}+\sin{2A}}=\cot{A}\)

\(Q.1.(v)\) \(2\cos{2A}+1=(2\cos{A}+1)(2\cos{A}-1)\)

\(Q.1.(vi)\) \(\sec{2\theta}-\tan{2\theta}=\frac{\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}}{\cos{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\tan{A}+\cot{A}=2cosec \ {2A}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\frac{\cot{A}-\tan{A}}{\cot{A}+\tan{A}}=\cos{2A}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\frac{1-\cos{2\theta}+\sin{2\theta}}{1+\cos{2\theta}+\sin{2\theta}}=\tan{\theta}\)

\(Q.1.(x)\) \(\frac{\sin{\alpha}-\sqrt{1+\sin{2\alpha}}}{\cos{\alpha}-\sqrt{1+\sin{2\alpha}}}=\cot{\alpha}\) যেখানে \(\alpha\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ।

\(Q.1.(xi)\) \(\frac{\cos{(45^{o}+\theta)}}{\cos{(45^{o}-\theta)}}=\sec{2\theta}-\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\tan{2A}=(\sec{2A}+1)\sqrt{\sec^2{A}-1}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\frac{1+\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}=\cot{\theta}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\tan{\theta}(1+\sec{2\theta})=\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{\sin{A}+\sin{2A}}{1+\cos{A}+\cos{2A}}=\tan{A}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{3\cos{x}+\cos{3x}}=\tan^3{x}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\frac{\cos{\theta}+\sin{\theta}}{\cos{\theta}-\sin{\theta}}-\frac{\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}=2\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\frac{\cos{A}-\sin{A}}{\cos{A}+\sin{A}}=\sec{2A}-\tan{2A}\)

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ কর
\(Q.2.(i)\) \(\sec{x}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{4x}}}}\)
ঢাঃ ২০১৪; দিঃ ২০০৯; যঃ ২০০৫।

প্রমাণ কর
\(Q.2.(ii)\) \(\sec{\frac{3x}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮; সিঃ ২০০৩।

\(Q.2.(iii)\) \(\sec{\frac{5x}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{10x}}}}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.2.(iv)\) \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)

\(Q.2.(v)\) \(cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}=4\tan{50^{o}}\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(vi)\) \(\sin{\theta}\sin{(60^{o}-\theta)}\sin{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\sin{3\theta}\)

\(Q.2.(vii)\) \(4\cos{\theta}\cos{\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)}\cos{\left(\frac{4\pi}{3}+\theta\right)}=\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{20^{o}}\cos{40^{o}}\cos{60^{o}}\cos{80^{o}}=\frac{1}{16}\)

\(Q.2.(ix)\) \(4(\sin^3{10^{o}}+\cos^3{20^{o}})=3(\sin{10^{o}}+\cos{20^{o}})\)

\(Q.2.(x)\) \(16\cos{\frac{\pi}{17}}\cos{\frac{2\pi}{17}}\cos{\frac{4\pi}{17}}\cos{\frac{8\pi}{17}}=1\)

\(Q.2.(xi)\) \(\sin{2x}\tan{2x}=\frac{4\tan^2{x}}{1-\tan^4{x}}\)

\(Q.2.(xii)\) \(1+\tan{2A}\tan{A}=\sec{2A}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\sin{(45^{o}+A)}\sin{(45^{o}-A)}=\frac{1}{2}\cos{2A}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\tan{(45^{o}+A)}+\tan{(45^{o}-A)}=2\sec{2A}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\cos{A}\sin{(30^{o}+A)}\sin{(30^{o}-A)}=\frac{1}{4}\cos{3A}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\cos{\theta}\cos{(60^{o}-\theta)}\cos{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\tan{A}\tan{(60^{o}+A)}\tan{(120^{o}+A)}=-\tan{3A}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(4(\sin^3{25^{o}}+\cos^3{5^{o}})=3\sqrt{3}\sin{55^{o}}\)

\(Q.2.(xix)\) \(\frac{\cos^3{x}+\sin^3{x}}{\cos{x}+\sin{x}}=1-\frac{1}{2}\sin{2x}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\frac{\tan^2{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}-1}{\tan^2{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+1}=\sin{2\theta}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\tan{\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}+\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{4\sin{2\alpha}}{1-4\sin^2{\alpha}}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(4(\cos^3{10^{o}}+\sin^3{20^{o}})=3(\cos{10^{o}}+\sin{20^{o}})\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\cos{nA}\cos{(n+2)A}-\cos^2{(n+1)A}+\)\(\sin^2{A}=0\)

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ কর
\(Q.3.(i)\) \(\sin^2{\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\theta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\theta}{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\theta}\)
রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৫ ।

প্রমাণ কর
\(Q.3.(ii)\) \(\cos^6{\theta}+\sin^6{\theta}=1-\frac{3}{2}\sin^2{2\theta}=\frac{1}{4}(1+3\cos^2{2\theta})\)

\(Q.3.(iii)\) \(\sin{5\theta}=16\sin^5{\theta}-20\sin^3{\theta}+5\sin{\theta}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\cos{5\theta}=16\cos^5{\theta}-20\cos^3{\theta}+5\cos{\theta}\)
রাঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(v)\) \(\cos^2{(A-120^{o})}+\cos^2{A}+\cos^2{(A+120^{o})}=\frac{3}{2}\)
ঢাঃ ২০০৩; দিঃ ২০১৩; কুঃ ২০০৭; যঃ ২০১৫,২০০৮।

\(Q.3.(vi)\) \(\sin^3{x}+\sin^3{(120^{o}+x)}+\sin^3{(240^{o}+x)}\)\(=-\frac{3}{4}\sin{3x}\)
সিঃ ২০১০,২০০৪; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭; বঃ ২০১৪; রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.3.(vii)\) \(\cos^3{x}+\cos^3{(60^{o}-x)}+\cos^3{(60^{o}+x)}\)\(=\frac{1}{4}(6\cos{x}-\cos{3x})\)

\(Q.3.(viii)\) \(\cos^3{x}+\cos^3{(120^{o}+x)}+\cos^3{(240^{o}+x)}\)\(=\frac{3}{4}\cos{3x}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\sin^4{x}+\cos^4{x}=1-\frac{1}{2}\sin^2{2x}\)

\(Q.3.(x)\) \(\cos^4{\theta}-\sin^4{\theta}=\cos{2\theta}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\cos^4{x}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{1}{8}\cos{4x}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\cos^3{A}\cos{3A}+\sin^3{A}\sin{3A}=\cos^3{2A}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(4\cos^3{x}\sin{3x}+4\sin^3{x}\cos{3x}=3\sin{4x}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^4{\frac{\pi}{8}}+\cos^4{\frac{3\pi}{8}}+\cos^4{\frac{5\pi}{8}}+\cos^4{\frac{7\pi}{8}}=\frac{3}{2}\)

\(Q.3.(xv)\) \(\sin^8{\theta}+\cos^8{\theta}=1-\sin^2{2\theta}+\frac{1}{8}\sin^4{2\theta}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\sin{32\theta}=\)\(2^5\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{2^2\theta}\cos{2^3\theta}\cos{2^4\theta}\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \cos{2\theta}=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\((b) \ \cos{3\theta}=\frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\)
\((c) \ \cos{4\theta}=\frac{1}{2}\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\)
রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩।

\(Q.4.(ii)\) যদি \(\tan{\theta}=\frac{1}{3}\) এবং \(\tan{\phi}=\frac{1}{7}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sin{4\theta}=\cos{2\phi}\)

\(Q.4.(iii)\) যদি \(\tan^2{\theta}=1+2\tan^2{\phi}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{2\phi}=1+2\cos{2\theta}\)

\(Q.4.(iv)\) যদি \(2\tan{\alpha}=3\tan{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\sin{2\beta}}{5-\cos{2\beta}}\)

\(Q.4.(v)\) যদি \(\tan{\alpha}=2\tan{\beta}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{3\sin{2\alpha}}{1+3\cos{2\alpha}}\)

\(Q.4.(vi)\) দেখাও যে, \(\tan{\theta}+2\tan{2\theta}+4\tan{4\theta}+8\cot{8\theta}=\cot{\theta}\)
সিঃ ২০০৮ ।

\(Q.4.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((2\cos{\theta}-1)(2\cos{2\theta}-1)(2\cos{2^2\theta}-1)..\)\(...(2\cos{2^{n-1}\theta}-1)=\frac{2\cos{2^n\theta}+1}{2\cos{\theta}+1}\)

\(Q.4.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{(45^{o}+A)}}{\cos{(45^{o}-A)}}=\sec{2A}-\tan{2A}\)

\(Q.4.(ix)\) যদি \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণদ্বয় ধনাত্মক ও সূক্ষ্ণ এবং \(\cos{2\alpha}=\frac{3\cos{2\beta}-1}{3-\cos{2\beta}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{\alpha}=\sqrt{2}\tan{\beta}\)

\(Q.4.(x)\) \(\tan{\theta}=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}\) হলে দেখাও যে, \(\sin{2\theta}=\frac{\sin{2x}+\sin{2y}}{1+\sin{2x}\sin{2y}}\)

\(Q.4.(xi)\) \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে , \(\sin{2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xii)\) \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে , \(\sec{2x}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{41}{40}\)
রাঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xiii)\) \(\cot{\theta}=2\) হলে , \(10\sin{2\theta}-6\tan{2\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
বুয়েটঃ ২০১১।

\(Q.4.(xiv)\) \(\theta=\cos^{-1}\frac{1}{3}\) হলে , \(\cos{3\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{23}{27}\)
বঃ,দিঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xv)\) \(\tan{\alpha}=\frac{1}{7}\) এবং \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{2\alpha}=\sin{4\beta}\)

\(Q.4.(xvi)\) \(\tan{\theta}=\frac{a}{b}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{4\theta}=\frac{4ab(b^2-a^2)}{(b^2+a^2)^2}\)

\(Q.4.(xvii)\) \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xviii)\) \(A=20^{o}, \ B=2A, \ C=3A, \ D=4A\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}=3\)
রাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xix)\) \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}=0\) হলে দেখাও যে, \(\cos{3\alpha}+\cos{3\beta}+\cos{3\gamma}=12\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)

\(Q.4.(xx)\) \(cosec \ {2A}+cosec \ {2B}+cosec \ {2C}=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=0\)

\(Q.4.(xxi)\) \(\tan{\theta}\tan{\phi}=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((a-b\cos{2\theta})(a-b\cos{2\phi})=a^2-b^2\)
বুটেক্সঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\tan{\beta}=\frac{\sin{2\alpha}}{5+\cos{2\alpha}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(3\tan{(\alpha-\beta)}=2\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=0\) হলে দেখাও যে, \(\cos{3A}+\cos{3B}+\cos{3C}=12\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxv)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}=\pm\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)

\(Q.4.(xxvi)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{(x-y)}{2}}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)

\(Q.4.(xxvii)\) \(x=\sin{\frac{\pi}{18}}\) হলে দেখাও যে, \(8x^4+4x^3-6x^2-2x+\frac{1}{2}=0\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\) হলে দেখাও যে, \(x\cos{2\theta}+y\sin{2\theta}=x\)

\(Q.4.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\tan{2^n\theta}}{\tan{\theta}}=(1+\sec{2\theta})(1+\sec{2^2\theta})(1+\sec{2^3\theta})...(1+\sec{2^n\theta})\)

\(Q.4.(xxx)\) \(13\theta=\pi\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}\cos{6\theta}=\frac{1}{2^6}\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(\theta=\frac{\pi}{2^n+1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(2^n\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{2^2\theta}....\cos{2^{n-1}\theta}=1\)

\(Q.4.(xxxii)\) যদি \((A+B)\ne{0}\) এবং \(\sin{A}+\sin{B}=2\sin{(A+B)}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=\frac{1}{3}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(a\sin{x}+b\sin{y}=c=a\cos{x}+b\cos{y}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\sqrt{\frac{2c^2-(a-b)^2}{4ab}}\)

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
Read Admission Question

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024