কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়ের পদ্ধতিই হলো ঐ ফাংশনের অন্তরীকরণ। \(f(x)\) ফাংশনের স্বাধীন চলক \(x\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dx=x\) এর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি (increment of x) \(\delta{x}\). অধীন চলক \(y\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dy=f^{\prime}(x)dx\) অর্থাৎ অধীন চলকের অন্তরক = স্বাধীন চলক বিশিষ্ট ফাংশণের অন্তরজ \(\times\) স্বাধীন চলকের অন্তরক ।

কোনো ফাংশনের সূচক অন্য আরেকটি ফাংশন হলে অথবা কোনো ফাংশন কয়েকটি ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত হলে, প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে অন্তরজ নির্ণয় সহজতর হয়।

\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{uv}{w}\right)=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\)
Proof

\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
Proof

\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}x^{n}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin^{2}{x})\)
\(=2\sin{x}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ Note প্রথমে \(\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=2\sin{x}\cos{x}\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\(=\sin{2x}\) ➜ Note \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}a^{x}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(5^{\sin{x}})\)
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ Note প্রথমে \(\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{a}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}\cos{x}\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}(c)=0\), (c=ধ্রুবক) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(a^{c})\)
\(=0\) ➜ Note \(\frac{d}{dx}(c)=0\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\): এই ক্ষেত্রে ফাংশনের সূচক একটি ফাংশন তাই এটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করা কষ্টসাধ্য। প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে সূচক অপসারণ করা হয় অথবা \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়, অতপর ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(x^{\sin{x}})\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{\ln{x^{\sin{x}}}})\) ➜ Note \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin{x}\ln{x}})\) ➜ Note \(\because \ln{x^n}=n\ln{x}\)
\(=e^{\sin{x}\ln{x}}.\frac{d}{dx}(\sin{x}\ln{x})\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=e^{\ln{x^{\sin{x}}}}\{\sin{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\}\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\sin{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\frac{1}{x}\sin{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)

ধরি,
\(y=log_{x^{a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\left(-\frac{1}{(\ln{x})^2}\right)\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^2}\times{\frac{1}{x}}\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
বিঃদ্রঃ যদি লগারিদমের ভিত্তি \(x\) এর ফাংশণ বা \(x\) হয় তবে সেক্ষেত্রে নেপিয়ার লগারিদমে ( ভিত্তি \(e\) ) পরিণত করে অন্তরজ নির্ণয় করতে হয়।