জ্যামিতিতে ভেক্টরের প্রয়োগ
Application of vectors in geometry
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equation of a Straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।

দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=t\overline{b}\)
অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Conditional vector equation of straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a straight line through two fixed points
straight3 \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ
Cartesian equation from vector equation of straight line
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)

ন্যূনতম দূরত্ব
Shortest distance
\(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার ন্যূনতম দূরত্ব,
CL=\(\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)

তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through three fixed points
\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through a point and parallel to two vectors
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through two points which parallel to a vectors
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।

একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through a point which perpendicular to a vector
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(lx+my+nz=P\) সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}.\overline{n}=P\)
যেখানে, \(\overline{n}=l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n}=P\) সমতলের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\((\overline{r}-\overline{a}).\overline{n}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\) ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\) সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d} \) সরলরেখার সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{d}\}=0\)
দুইটি রেখার মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব
Shortest distance between two vector lines
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+s\overline{b_{2}}\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব,
S.D=\(\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী রেখার ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0=(\overline{r}-\overline{a_{2}}).\{\overline{b_{2}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}\)
বাহু সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
Area of Parallelogram to the side
কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
\(▱=|\overline{a}\times\overline{b}|\)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Triangle
কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

বাহু সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
Area of Parallelogram to the diagonals
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টর দ্বারা কোনো সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল,
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

ধার সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন
Area of Tetrahedron to the edges
কোনো চতুস্তলকের সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].\)

শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন
Area of Tetrahedron to the vertices
কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)

শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Triangle to the vertices
যদি, \(ABC\) ত্রিভুজের \(A , \ B, \ C\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c}\) হয় তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)

×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।
প্রমাণঃ
straight3 ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(1)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overline{b},\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\((1)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AP}=t\overline{b}\)

যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((1)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overline{b}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overline{b}=0\)
\(\therefore (\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)

( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a}), B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\)
\(\triangle{OCB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c} ........(1)\)
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(CB\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু নেই যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(2)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{CB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)
\((2)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)

যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((2)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(3)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{CB}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{CB}=0\)
\((3)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{c})=0\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি, \(O\) মূলবিন্দু , \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং রেখাটির উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A, B\) এবং \(P\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} ........(1)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টরদ্বয় একই ধারক রেখার উপর অবস্থিত।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a}) .......(2)\)
আবার, \(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} .......(3)\)
\((3)\) হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(\therefore \overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(4)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=0\)
\((4)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
( প্রমাণিত )
×
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু এবং \(A(\overline{a}), B(\overline{b}), P(\overline{r})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণগুলি যথাক্রমে
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
যখন
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}+tb_{1}\hat{i}+tb_{2}\hat{j}+tb_{3}\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)

\(\therefore x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(a_{1}+tb_{1})\hat{i}+(a_{2}+tb_{2})\hat{j}+(a_{3}+tb_{3})\hat{k} ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(x=a_{1}+tb_{1}, y=a_{2}+tb_{2}, z=a_{3}+tb_{3}\)
\(\Rightarrow x-a_{1}=tb_{1}, y-a_{2}=tb_{2}, z-a_{3}=tb_{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=t, \frac{y-a_{2}}{b_{2}}=t, \frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\therefore \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।
( প্রমাণিত )
×
\(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার ন্যূনতম দূরত্ব,
CL=\(\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার ন্যূনতম দূরত্ব \(CL\) এবং \(\angle{CAL}=\theta.\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜ \(\because P(\overline{p})\) এবং \(Q(\overline{q})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\) হয়।

\(\Rightarrow AB=|\overrightarrow{AB}|\)
\(\therefore AB=|\overline{b}-\overline{a}|\)
\(\triangle{ACL}\) হতে,
\(\sin{\theta}=\frac{CL}{AC}\)
\(\Rightarrow CL=AC\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow CL=AC\frac{|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\frac{|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}\)

\(\Rightarrow CL=AC\frac{|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}|}{AC \ AB}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AC}|=AC\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=AB\)

\(\Rightarrow CL=\frac{|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}|}{AB}\)
\(\Rightarrow CL=\left|\overrightarrow{AC}\times\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}\right|\)
\(\therefore CL=\left|\overrightarrow{AC}\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
এবং \(AB=|\overline{b}-\overline{a}|\)

( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)
যেহেতু, \(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b}),\) \(C(\overline{c}),\) \(P(\overline{r})\) বিন্দুসমূহ একই সমতলে অবস্থিত,
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP},\) \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরসমূহ একই সমতলে থাকবে।
\([\overrightarrow{AP} \ \overrightarrow{AB} \ \overrightarrow{AC}]=0\) ➜ \(\overrightarrow{PQ},\) \(\overrightarrow{QR}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\) ভেক্টরত্রয়ের একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত,
\([\overrightarrow{PQ} \ \overrightarrow{QR} \ \overrightarrow{PR}]=0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\) ➜ \(\because [\overline{p} \ \overline{q} \ \overline{r}]=\overline{p}.(\overline{q}\times\overline{r})\)

\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{a})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}-\overline{b}\times\overline{a}-\overline{a}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{b}+\overline{c}\times\overline{a}+0\}=0\) ➜ \(\because \overline{b}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\overline{a}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{a}\)
এবং \(\overline{a}\times\overline{a}=0\)

\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{b}+\overline{c}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\overline{b}\times\overline{c})+\overline{r}.(\overline{a}\times\overline{b})+\overline{r}.(\overline{c}\times\overline{a})-\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})-\overline{a}.(\overline{a}\times\overline{b})-\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]-0-0=0\) ➜ \(\because \overline{r}.(\overline{b}\times\overline{c})= [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\(\overline{r}.(\overline{a}\times\overline{b})=[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]\)
\(\overline{r}.(\overline{c}\times\overline{a})=[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]\)
\(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\(\overline{a}.(\overline{a}\times\overline{b})=0\)
এবং \(\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{a})=0\)

\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\)
\(\therefore [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

শর্তমতে, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর সমতলে থাকবে এবং \(\overline{b}\times\overline{c}\) ভেক্টরের সহিত লম্ব হবে।
\(\overrightarrow{AP}.(\overline{b}\times\overline{c})=0\) ➜ \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{QR}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,
\(\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{QR}=0\)

\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).(\overline{b}\times\overline{c})=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(\overline{b}\times\overline{c})-\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})=0\)
\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\) ➜ \(\because \overline{r}.(\overline{b}\times\overline{c})= [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
এবং \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

\(\therefore [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

যেহেতু সমতলটি \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল,
সুতরাং, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\) এর সহিত লম্ব হবে,
অর্থাৎ, \(\overline{c}.(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB})=0\) হবে, ➜ \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{QR}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,
\(\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{QR}=0\)

\(\Rightarrow \overline{c}.\{(\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overline{c}.\{\overline{r}\times\overline{b}-\overline{r}\times\overline{a}-\overline{a}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.(\overline{r}\times\overline{b})-\overline{c}.(\overline{r}\times\overline{a})-\overline{c}.(\overline{a}\times\overline{b})+0=0\) ➜ \(\because \overline{a}\times\overline{a}=0\)

\(\Rightarrow [\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{b}]-[\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{a}]-[\overline{c} \ \overline{a} \ \overline{b}]=0\) ➜ \(\because \overline{c}.(\overline{r}\times\overline{b})=[\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{b}]\)
\(\overline{c}.(\overline{r}\times\overline{a})=[\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{a}]\)
এবং \(\overline{c}.(\overline{a}\times\overline{b})=[\overline{c} \ \overline{a} \ \overline{b}]\)

\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\) ➜ \(\because [\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{b}]=[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\([\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{a}]=-[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]\)
এবং \(\overline{c}.(\overline{a}\times\overline{b})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

\(\therefore [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

তাহলে, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর সমতলে থাকবে এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব হবে।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}.\overline{n}=0\) হবে
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\overline{n}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{n}-\overline{a}.\overline{n}=0\)
\(\therefore \overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)
( প্রমাণিত )
×
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}} \) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+t\overline{b_{2}} \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব,
S.D=\(\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\)
প্রমাণঃ
straight3 লম্বদূরত্ব (S.D),
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}} \) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+t\overline{b_{2}} \) রেখাদ্বয়ের উভয়ের সহিত লম্ব।
সুতরাং ন্যূনতম দূরত্ব \(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}\) ভেক্টরের সহিত সমান্তরাল হবে।
\(\therefore S.D=\) | ন্যূনতম দূরত্ব রেখা বরাবর \(BA\) রেখার লম্ব অভিক্ষেপ | যেখানে, \(B(\overline{a_{2}})\) ও \(A(\overline{a_{1}})\)
\(=\) | \(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}\) বরাবর \((\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}})\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ |
\(=\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\) ➜ \(\because \overline{m}, \ \overline{n}\) হলে,
\(\overline{m}\) বরাবর \(\overline{n}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ,
\(=\overline{n}.\frac{\overline{m}}{|\overline{m}|}\)

( প্রমাণিত )
×
কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
\(▱=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
প্রমাণঃ
straight3 \(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) সন্নিহিত বাহু দুইটি দ্বারা যথাক্রমে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টর দুইটি সূচীত করা হলো।
যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
\(▱OACB=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
( প্রমাণিত )
×
কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
প্রমাণঃ
straight3 \(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) সন্নিহিত বাহু দুইটি দ্বারা যথাক্রমে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টর দুইটি সূচীত করা হলো।
যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
আবার, \(\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|=\frac{1}{2}.OA.h\)
\(=\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
( প্রমাণিত )
×
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টর দ্বারা কোনো সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল,
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
প্রমাণঃ
straight3 যদি,
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AC\) এবং \(BD\) কর্ণদ্বয় পরস্পর \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\overrightarrow{AC}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{BD}=\overline{b}\) হয় তবে,
\(\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{PCD}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PD}|\)
\(=\frac{1}{2}|\frac{1}{2}\overline{a}\times\frac{1}{2}\overline{b}|\) ➜ \(\because \overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}\overline{b}\)

\(=\frac{1}{2}|\frac{1}{4}\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\therefore \triangle{PCD}=\frac{1}{8}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
আবার, \(▱ABCD=4\times\triangle{PCD}\)
\(=4\times\frac{1}{8}|\overline{a}\times\overline{b}|\) ➜ \(\because \triangle{PCD}=\frac{1}{8}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\therefore ▱ABCD=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
( প্রমাণিত )
×
কোনো চতুস্তলকের সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].\)
প্রমাণঃ
স্কেলার ট্রিপল প্রডাক্ট এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হতে জানি,
কোনো সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a}, \ \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) দ্বারা সূচিত হলে \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\) দ্বারা ঐ সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন নির্দেশিত হয়।
straight3 যদি, \(OABCDEFG\) সামান্তরিক আকারের ঘন বস্তুর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OE}=\overline{c}\) হয় তবে, \(OABCDEFG\) সামান্তরিক আকারের ঘন বস্তুর আয়তন
\(=OABC\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা \(=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
এখানে, \(OACD\) চতুস্তলকের আয়তন
\(=\frac{1}{3}OAC\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}OABC\) এর ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(=\frac{1}{6}OABC\) এর ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(=\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
অর্থাৎ কোনো চতুস্তলকের সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন \(=\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
( প্রমাণিত )
×
কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)
প্রমাণঃ
straight3 ধরি,
\(ABCD\) চতুস্তলকের \(A, \ B, \ C, \ D\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}, \ \overline{d}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{BD}=\overline{d}-\overline{b}\)
\(\overrightarrow{CD}=\overline{d}-\overline{c}\)
এখন, \(ABCD\) চতুস্তলকের আয়তন
\(=\frac{1}{6}[\overrightarrow{AD} \ \overrightarrow{BD} \ \overrightarrow{CD}]\)
\(=\frac{1}{6}[\overline{d}-\overline{a} \ \overline{d}-\overline{b} \ \overline{d}-\overline{c}]\) ➜ \(\because \overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\)
\(\overrightarrow{BD}=\overline{d}-\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{CD}=\overline{d}-\overline{c}\)

\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{(\overline{d}-\overline{b})\times(\overline{d}-\overline{c})\}]\) ➜ \(\because [\overline{p} \ \overline{q} \ \overline{r}]=\overline{p}.\overline{q}\times\overline{r}\)

\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{\overline{d}\times(\overline{d}-\overline{c})-\overline{b}\times(\overline{d}-\overline{c})\}]\)
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{\overline{d}\times\overline{d}-\overline{d}\times\overline{c}-\overline{b}\times\overline{d}+\overline{b}\times\overline{c}\}]\)
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{0+\overline{c}\times\overline{d}-\overline{b}\times\overline{d}+\overline{b}\times\overline{c}\}]\) ➜ \(\because \overline{d}\times\overline{d}=0\)
এবং \(\overline{d}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{d}\)

\(=\frac{1}{6}[\overline{d}.(\overline{c}\times\overline{d})-\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{d})+\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{c})-\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{d})+\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{d})-\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})]\)
\(=\frac{1}{6}\{0-0+[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{c} \ \overline{d}]+[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}\) ➜ \(\because \overline{d}.(\overline{c}\times\overline{d})=0\)
\(\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{d})=0\)
\(\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{c})=[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\(\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{d})=[\overline{a} \ \overline{c} \ \overline{d}]\)
\(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{d})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]\)
এবং \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

\(=\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}\) ➜ \(\because [\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]\)
\([\overline{a} \ \overline{c} \ \overline{d}]=[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]\)
এবং \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]=[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]\)

\(=\frac{1}{6}([\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}])\)
ইহাই নির্ণেয় চতুস্তলকের আয়তন
( প্রমাণিত )
×
যদি, \(ABC\) ত্রিভুজের \(A , \ B, \ C\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c}\) হয় তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)
প্রমাণঃ
straight3 দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(A , \ B, \ C\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜ \(\because M(\overline{m}), \ N(\overline{n})\) হলে,
\(\overrightarrow{MN}=\overline{n}-\overline{m}\)

অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)
এখন, \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{PQ}, \ \overrightarrow{QR}\) কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু নির্দেশ করলে,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{QR}|\)

\(=\frac{1}{2}|(\overline{b}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{a})|\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(=\frac{1}{2}|\overline{b}\times(\overline{c}-\overline{a})-\overline{a}\times(\overline{c}-\overline{a})|\)
\(=\frac{1}{2}|\overline{b}\times\overline{c}-\overline{b}\times\overline{a}-\overline{a}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{a}|\)
\(=\frac{1}{2}|\overline{b}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{b}+\overline{c}\times\overline{a}+0|\) ➜ \(\because \overline{b}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\overline{a}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{a}\)
এবং \(\overline{a}\times\overline{a}=0\)

\(=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)
ইহাই নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
( প্রমাণিত )
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ও এর কার্তেসীয় আকার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(2t+3)\hat{i}+(t-2)\hat{j}+(5-4t)\hat{k};\)
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-5}{-4}\)
\(Ex.2\) ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখাও যে, \((x_{1},y_{1},z_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(l,m,n\) দিক-কোসাইন বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\)
\(Ex.3\) \((1,2,-3)\) বিন্দুগামী এবং \((2,3,-1)\) ও \((3,5,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)
\(Ex.4\) \((1,2,3)\) এবং \((4,-3,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+3t)\hat{i}+(2-5t)\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১৮; নঃমেঃ ২০০২; পাসঃ ২০১৪
\(Ex.5\) \(P(6,-4,4)\) বিন্দু হতে \(A(2,1,3)\) এবং \(B(3,-1,4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
জাতীয়ঃ ২০১৮, ২০০২
\(Ex.6\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \((1,5,10)\) বিন্দু হতে \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=2\sqrt{5}\)
জাতীয়ঃ ২০১৩, ২০১৫
\(Ex.7\) দেখাও যে, \((2,-1,0),\) \((3,1,5),\) \((0,3,6)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=0\)
\(Ex.8\) \(x-12y-7z=9\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=31\)
\(Ex.9\) \(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=0\) ও \(\overline{r}.(\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})+3=0\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=2\)
জাতীয়ঃ ২০০২
\(Ex.10\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরগামী এবং \(\hat{i}+5\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=17\)
\(Ex.11\) \(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টরগামী যে সমতল \(\overline{r}=\hat{i}+2\hat{i}+3\hat{k}+t(2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})\) রেখার সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})=-10\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৮
\(Ex.12\) \((1,2,4),\) \((3,4,5)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর যাহা \(4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল ।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})+7=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১৩; ঢাবিঃ২০০৭,২০০৩; ঢাঃএফিঃ ২০১৭
\(Ex.13\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4}\) এবং \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(1;\) \(14x-8y-z+6=0=2x-y\)
\(Ex.14\) \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এবং \(\overline{r}=\overline{c}+s\overline{d}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
যেখানে, \(\overline{a}=6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{c}=-4\hat{i}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(9\)
জাতীয়ঃ ২০০৫
\(Ex.15\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{521}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ ২০১০
\(Ex.16\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার বাহুগুলি \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
উত্তরঃ \(2\sqrt{2}\) বর্গ একক।
\(Ex.17\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষ বিন্দুগুলো \(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৪; রাঃ ১৯৮৬
\(Ex.18\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় কর যেখানে এর ধারসমূহ \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত।
উত্তরঃ \(2\) ঘন একক।
\(Ex.19\) কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\sqrt{3}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ ১৯৯৬
\(Ex.20\) একটি চতুস্তলকের আয়তন নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{j}+2\hat{k}, \ 3\hat{i}+\hat{k}, \ 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(6\) ঘন একক।
\(Ex.21\) কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর ধার তিনটি \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}, \ \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে উহার আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(14\) ঘন একক।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০০৮
\(Ex.22\) ভেক্টর স্কেলার ট্রিপল প্রডাক্ট ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, \((2,-1,0), \ (3,1,5), \ (0,3,6) \) বিন্দুত্রয় মূলবিন্দুগামী একটি সমতলের উপর অবস্থিত।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০০৭
\(Ex.23\) \(\overrightarrow{F}=3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\) দ্বারা প্রদত্ত একটি বল \((1,-1,2)\) বিন্দুতে প্রয়োগ করা হলো। \((2,-1,3)\) বিন্দুর সাপেক্ষে \(\overrightarrow{F}\) এর মোমেন্ট নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}-7\hat{j}-2\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০০২; ঢাবিঃ ১৯৯৪
\(Ex.24\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
\(Ex.25\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।
\(Ex.26\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)
\(Ex.27\) \((1,2,-3)\) বিন্দুগামী এবং \((2,3,-1)\) ও \((3,5,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)
\(Ex.28\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)
\(Ex.29\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)
\(Ex.30\) \((1, -2, 3)\) ও \((3, 5, -2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+2\lambda)\hat{i}+(7\lambda-2)\hat{j}+(3-5\lambda)\hat{k}\)
\(Ex.31\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
\(Ex.32\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)
\(Ex.33\) \((1, -2, 3)\) ও \((3, 5, -2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+2\lambda)\hat{i}+(7\lambda-2)\hat{j}+(3-5\lambda)\hat{k}\)
\(Ex.34\) \((1,2,3)\) এবং \((4,-3,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+3t)\hat{i}+(2-5t)\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)
\(Ex.35\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)
\(Ex.36\) \(\overline{a}=2\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত ঘন বস্তুর আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\) ঘন একক।
\(Ex.37\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)
Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

বিকাস/নগদ, 01715651163 নম্বরে টাকা সেন্ট করে টোকেন সংগ্রহ করুনঃ


100 টাকা150 counter
200 টাকা400 counter
300 টাকা600 counter
500 টাকা1000 counter
1000 টাকা2000 counter

Please enter your 9-digit token:



Post List

Multiple Choise

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry