ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
Trigonometric Identities
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
অভেদ
Identity
সমান চিহ্নের উভয় পার্শে সমান ঘাতবিশিষ্ট দুইটি বহুপদী সম্বলিত সমীকরণকে অভেদ বলে। অভেদ চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সংখ্যার চেয়ে অধিক সংখ্যক মান তথা অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হয়।
যেমনঃ
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) \((x+1)^2=x^2+2x+1\) \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2\) \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
ইত্যাদি।
ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
Trigonometrical Identities
তিন বা ততোধিক কোণ পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হলে ঐ কোণ সমূহের সরল গুণিতক বা উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সমূহের মধ্যে যে সম্পর্ক তার সাহায্যেই ত্রিকোনমিতিক অভেদাবলি প্রতিষ্ঠা করা হয়। তিনটি কোণের সমষ্টি \(180^{o}\) বা \(\pi\) হলে, সম্পূরক বা পরিপূরক কোণের ধর্ম ব্যবহার করতে হয়।
যেমনঃ \(A+B+C=\pi\) হলে,
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\therefore \sin{(A+B)}=\sin{C}\)
\(\sin{(A+B)}=\sin{C}\)
অনুরূপভাবে,
\(\cos{(A+B)}=-\cos{C}\) \(\tan{(A+B)}=-\tan{C}\) \(\cot{(A+B)}=-\cot{C}\) \(\cos{\frac{A+B}{2}}=\cos{\frac{C}{2}}\) \(\tan{\frac{A+B}{2}}=\tan{\frac{C}{2}}\) \(\cot{\frac{A+B}{2}}=\cot{\frac{C}{2}}\)
ইত্যাদি।
উদাহরণসমুহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Ex.1.\) \(\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Ex.2.\) \(\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)

\(Ex.3.\) \(\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}=2\)
চঃ২০১১।

\(Ex.4.\) \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)

\(Ex.5.\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)

\(Ex.6.\) \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩; কুঃ, চঃ২০০৬; বঃ২০১২,২০১৬।

\(Ex.7.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)
ঢাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭; যঃ ২০০৭; রাঃ ২০১৬,২০১৩; সিঃ ২০১৩; কুঃ ২০১৫,২০০৪; চঃ ২০১৩; দিঃ ২০০৯।

\(Ex.8.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\sin{C}=0\)
ঢাঃ ২০০৯; যঃ ২০১৫,২০১৩,২০১০; রাঃ ২০০৬; সিঃ ২০১৫; কুঃ ২০১১; চঃ ২০০৯,২০০৫; দিঃ ২০১৪।

\(Ex.9.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.1.(i)\) \(\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.1.(ii)\) \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
রাঃ২০০৮; রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.1.(iii)\) \(\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}+\)\(4\cos{A}\cos{B}\cos{C}=-1\)

\(Q.1.(iv)\) \(\sin{(B+C-A)}+\sin{(C+A-B)}+\)\(\sin{(A+B-C)}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
চঃ২০০৪;বঃ ২০০৬।

\(Q.1.(v)\) \(\sin{A}+\sin{B}-\sin{C}=4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
যঃ ২০০৮।
\(Q.1.(vi)\) \(\cos{A}-\cos{B}+\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)

\(Q.1.(vii)\) \(\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}-1\)

\(Q.1.(viii)\) \(\sin{\frac{A}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\)\(=1+4\sin{\frac{B+C}{4}}\sin{\frac{C+A}{4}}\sin{\frac{A+B}{4}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\cos{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}\)\(=4\cos{\frac{\pi-A}{4}}\cos{\frac{\pi-B}{4}}\cos{\frac{\pi-C}{4}}\)

\(Q.1.(x)\) \(\cos{2A}-\cos{2B}+\cos{2C}\)\(=1-4\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}+1=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\sin{(B+2C)}+\sin{(C+2A)}+\sin{(A+2B)}\)\(=4\sin{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{A}\cos{B}\cos{C}+\sin{B}\cos{C}\cos{A}+\)\(\sin{C}\cos{A}\cos{B}=\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.2.(i)\) \(\cos^2{2A}+\cos^2{2B}+\cos^2{2C}\) \(=1+2\cos{2A}\cos{2B}\cos{2C}\)

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.2.(ii)\) \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
চঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৭; রাঃ ২০১১,২০০৫।

\(Q.2.(iv)\) \(\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}\)\(=1-2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
যঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৬,২০০৯।

\(Q.2.(v)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}=1-2\sin{A}\sin{B}\cos{C}\)
চঃ ২০১৫।

\(Q.2.(vi)\) \(\cos^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}\) \(=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(vii)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=\sin^2{C}\)
ঢাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭; যঃ ২০০৭; রাঃ ২০১৬,২০১৩; সিঃ ২০১৩; কুঃ ২০১৫,২০০৪; চঃ ২০১৩; দিঃ ২০০৯।

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.3.(i)\) \(\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}=1\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩,২০০৫-২০০৬।

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.3.(ii)\) \(\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)

\(Q.3.(iii)\) \(\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}=2\)
চঃ২০১১।

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{B}+\tan{C}}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{C}+\tan{A}}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{A}+\tan{B}}=1\)

\(Q.3.(v)\) \(\tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}=\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}=\)\(\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\cot{\frac{A}{2}}+\cot{\frac{B}{2}}+\cot{\frac{C}{2}}=\cot{\frac{A}{2}}\cot{\frac{B}{2}}\cot{\frac{C}{2}}\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.4.(i)\) \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}+2\sin{A}\sin{B}\sin{C}=1\)
কুঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২; যঃ ২০১৬; মাঃ ২০১২।

যদি \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.4.(ii)\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=\)\(1+4\sin{\frac{\pi-2A}{4}}\sin{\frac{\pi-2B}{4}}\sin{\frac{\pi-2C}{4}}\)
কুঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২; যঃ ২০১৬; মাঃ ২০১২।

\(Q.4.(iii)\) \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)

\(Q.4.(iv)\) \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\cot{A}\cot{B}\cot{C}\)

\(Q.4.(v)\) যদি \(A+B=C\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(vi)\) যদি \(A+B+C=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)
রাঃ২০১৯; কুঃ২০০৩।

\(Q.4.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{(\beta-\gamma)}+\cos^2{(\gamma-\alpha)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)\(=1+2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\cos{(\alpha-\beta)}\)

\(Q.4.(viii)\) যদি \(x+y+z=xyz\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{2x}{1-x^2}+\frac{2y}{1-y^2}+\frac{2z}{1-z^2}=\frac{2x}{1-x^2}.\frac{2y}{1-y^2}.\frac{2z}{1-z^2}\)

\(Q.4.(ix)\) যদি \(yz+zx+xy=1\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\frac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4\)

\(Q.4.(x)\) যদি \(A+B+C=n\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xi)\) যদি \(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xii)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\) এবং \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

\(Q.4.(xiii)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}-\cos{\gamma}=4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}+1\)
রাঃ২০১৯; ।

\(Q.4.(xiv)\) \(A+B+C=\pi\) এবং \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B=C\)

\(Q.4.(xv)\) যদি \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A+B+C=n\pi. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xvi)\) যদি \(A+B+C=\pi\) এবং \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B=C\)
বুটেক্সঃ ২০০৪-২০০৫; বঃ ২০০৭ ।

\(Q.4.(xvii)\) যদি \(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=\pm4\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.4.(xviii)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+\)\(2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\) হলে দেখাও যে, \(A\pm{B}\pm{C}=(2n+1)\pi\) যেখানে, \(n\) যে কোনো অখন্ড সংখ্যা।

\(Q.4.(xix)\) যদি \(x+y+z=xyz\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}+\frac{3y-y^3}{1-3y^2}+\frac{3z-z^3}{1-3z^2}=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}.\frac{3y-y^3}{1-3y^2}.\frac{3z-z^3}{1-3z^2}\)

\(Q.4.(xx)\) যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\) হলে, দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

\(Q.4.(xxi)\) \(A+B+C=\pi, \ B=\frac{\pi}{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=0\)

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}=2(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})(1+\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})\)

\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(A+B+C=\frac{n\pi}{2}\) এবং \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
Read Admission Question

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !

Chemistry